W dniach 14-21 września 2009 odbył się obóz naukowy Koła, w którym wzięli udział:
- Marcin Kotowski
- Michał Kotowski
- Kasia Macieszczak
- Piotr Nayar
- Michał Pilipczuk
- Julia Romanowska
- Paulina Szymańska
- Tomek Tkocz
Poza wycieczkami górskimi i innymi atrakcjami (m.in. baseball na Rusinowej Polanie) wysłuchaliśmy przede wszystkim ciekawych referatów - poniżej znajdują się ich streszczenia. Piotrek Nayar swój referat o perkolacjach na drzewie binarnym wygłosił na Krzesanicy :)!
Tomek Tkocz "Mierzalne rozwiązania równania Cauchy'ego"
Przedstawione zostaly dwa dowody klasycznego wyniku, ze funkcja
addytywna $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, jesli jest mierzalna, to jest ciagla.
Tomek Tkocz, "Pewna nierownosc funkcyjna zwiazania z entropia"
Rozwiazana zostala nierownosc funkcyjna motywowana klasyczna
nierownoscia Shannona. Motywacja polegala na zastapieniu logarytmu
nieznana funkcja $f: (0, 1) \rightarrow \mathbb{R}$. Dzieki temu dowiedzielismy sie jak
wygladaja wszystkie sensowne funkcje zaplaty ekspertowi doradzajacemu
przy obstawianiu u bukmachera wyniku wyscigu n koni.
Michał Pilipczuk, "Metody probabilistyczne w teorii grafów"
W referacie przybliżone zostały podstawy metody probabilistycznej —-
techniki dowodzenia istnienia skomplikowanych obiektów kombinatorycznych
bez ich faktycznej konstrukcji, przy użyciu narzędzi znanych z rachunku
prawdopodobieństwa. Przedstawione zostały metody naiwne, wykorzystujące
wartość oczekiwaną oraz niezależność (lemat lokalny Lovasza).
Piotr Nayar, "Twierdzenie Liouville'a na kracie Z^d"
Powiemy, ze $f: \mathbb{Z}^d \rightarrow \mathbb{R}$ jest harmoniczna, jesli jej wartosc w kazdym punkcie
jest srednia z wartosci funkcji f w 2d punktach sasiednich. Pokazemy elementarnie, ze dodatnia
funkcja harmoniczna musi byc funkcja stala.
Piotr Nayar, "Perkolacje na drzewie binarnym" (zajawka do tematu "Perkolacje na kracie Z^d")
Kazda krawedz grafu (G,V) moze byc otwarta z prawdopodobienstwem p lub zamknieta
z prawdopodobienstwem 1-p. Definiujemy funkcje perkolacji $\theta_x(p)$ jako prawdopodobienstwo, ze
otwarta spojna skladowa punktu x jest nieskonczona. Obliczymy $\theta_x(p)$ dla nieskonczonego drzewa
binarnego, gdy x jest korzeniem tego drzewa.
Piotr Nayar "Okres 3 implikuje chaos" (zajawka do tematu "Twierdzenie Szarkowskiego")
Pokazemy, ze jesli funkcja ciagla $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ ma orbite o okresie wlasciwym 3, to ma orbity
o wszystkich okresach naturalnych. Jest to slynny wynik Li i Yorke'a z 1975r.
Marcin Kotowski "Grupy wirtualnie wolne i hiperboliczne"
W ramach zachęty do geometrycznej teorii grup opowiedziałem krótko o różnych geometrycznych i
kombinatorycznych charakteryzacjach grup wirtualnie wolnych i grup hiperbolicznych. Naszkicowałem
m.in. twierdzenie, w myśl którego grupa jest wirtualnie wolna wtw. jej graf Cayleya jest quasi-izometryczny
z drzewem.
