Jesli chcesz brać udział w tworzeniu strony - dołącz!
Najbliższe spotkanie…
Czwartek 10 V, godz. 16:00, sala 5070
Kiedy rodzina średnich uogólnionych tworzy skalę?
Paweł Pasteczka
Abstrakt:
Dla rodziny $\{k_t \,\vert \,t \in I\}$ funkcji klasy $\mathcal{C}^2$ zdefiniowanych na $U$ ($I$, $U$ — odcinki otwarte) spełniających pewne warunki dotyczące różniczkowalności, pokażemy, że przekształcenie $I \ni t \mapsto k_t^{-1}\bigl(\sum_{i=1}^n w_i k_t(a_i)\bigr)$ jest ciągłą bijekcją pomiędzy $U$ a $(\min\underline{a}, \,\max\underline{a})$
dla dowolnego ustalonego ciągu $\underline{a} = \bigl(a_i\bigr)_{i=1}^n$ o wartościach w $U$ oraz dowolnego ciągu dodatnich wag tej samej długości $\underline{w} = \bigl(w_i\bigr)_{i=1}^n$.
W tej sytuacji mówimy, że rodzina funkcji $\{k_t\}$ generuje ${\it skalę\,}$ na $U$.
Mówiąc ściślej, będziemy zakładać, że (wszystkie rozważane pochodne są ze względu na $x \in U$) :
(i) $k'_t$ jest niezerowa na $U$ dla dowolnego $t \in I$,
(ii) przekształcenie $I \ni t \mapsto \frac{k''_t(x)}{k'_t(x)}$ jest rosnące, różnowartościowe na gęstym podzbiorze $U$ oraz "na" $\mathbb{R}$ dla dowolnego $x \in U$.
Przedstawimy dodatkowo trzy zastosowania naszego rezultatu:
1) nowy, bardzo krótki dowód faktu, że ${\it średnie}$ ${\it potęgowe}$ są skalą na $(0,+\infty)$,
2) krótki dowód faktu zbliżonego do dwóch wcześniejszych wyników Kolesarovej z 2001 roku mówiącego, że dla dowolnej, ściśle rosnącej, wypukłej funkcji $g \colon (0,\,1) \to (0,\,+\infty)$ klasy $\mathcal{C}^2$ rodzina $\{\mathfrak{M}_{g_\alpha}\}_{\alpha \in (0,\,+\infty)}$ średnich quasi-arytmetycznych, generowanych przez funkcje
$g_\alpha(x) = g(x^\alpha)$, $\alpha \in (0,\,+\infty)$ tworzy skalę na $(0,1)$ pomiędzy średnią geometryczną a maksimum (to znaczy dla dowolnego $\underline{a}$, $\underline{w}$, jeśli
$s \in \bigl(\prod_{i = 1}^n a_i^{\,w_i},\,\max(\underline{a})\bigr)$, to istnieje dokładnie jedna $\alpha$ taka, że $\mathfrak{M}_{g_\alpha}(\underline{a},\underline{w}) = s$).
3) krótki dowód klasycznego wyniku Włoskiej Szkoły Statystyków z lat 20-tych ubiegłego stulecia
mówiący, że rodzina ${\it radical}$ ${\it means\,}$ tworzy skalę na $(0,\, +\infty)$.
Aktualności
…
- Zapisz się na listę mailową KPM: http://groups.google.com/group/pasjonaci-kpm, żeby dostawać info o najnowszych wydarzeniach.
- Odbędą się warsztaty z Geometrycznej Teorii Grup. Więcej informacji tutaj
Odbyły się…
- II Konferencja Koła Pasjonatów Matematyki - więcej
- Konferecja "Renormalization in low dimensional dynamics and its applications" - krótka relacja
- XIII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków "Logika i podstawy matematyki" w Krakowie - krótka relacja
- Konferencja Inequalities and PDEs w Małym Cichym - relacja
- 2nd Summer School on Analysis, "Spectral Theory and PDEs" - relacja
- 6. Wakacyjne Warsztaty Wielodyscyplinarne
19-29 sierpnia 2009, Olsztyn- członkowie Koła: Marcin i Michał Kotowscy poprowadzili warsztaty "Teoria informacji", a Tomek Tkocz - "Równania i nierówności funkcyjne"
- Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2010 - relacja: tutaj
- VII Forum Równań Różniczkowych Cząstkowych w Będlewie - relacja: tutaj
- Wiosenna Szkoła Układów Dynamicznych 2010 w Będlewie - relacja: tutaj
